こちらでは、２次方程式から、解の公式へと導く方法を、「別解」として紹介していきます。
前記事では、弱酸の電離度αを、２次方程式から解の公式へと導く事によって求められました。出来ましたら、前記事の、
で御理解された後、こちらを御覧頂きますと、更に理解度が増すと思われます。
さらに、ｐＨ、累乗根も関係性がある事から、
の別記事も是非御覧下さい！
今回、「別解」と称していますが、解法と致しましては、因数分解の公式を用いた、全く同じ様な解法となっていますので、ゆっくり時間を掛けて頂き御理解下さい。それでは、スタートです！
１．別解：解の公式への導き方！
「 cα^2＋Kaα－Ka＝０ 」 →「(c／c)α^2＋(Ka／c)α－(Ka／c)＝０ 」 →「α^2＋(Ka／c)α－(Ka／c)＝０ 」(※ ここで、左辺：α^2＋＊(Ka／c)α に注目する！)
(２．) ※ 何故なら、解であるαを求めるためには、どうしても最終的な形として、因数分解の公式の右辺の、平方完成の形：「(x＋a)^2 ！」を、２次方程式の左辺に取り入れて、 「(α＋Ka／２c)^2＝(Ka^2＋４cKa)／４c^2 」 とし、解を求めていく必要があるからだ！
(２．)：因数分解の公式の左辺「x^2＋２ax＋a^2」 の形に変形する。ここで注目するのが、公式内の「x^2＋２☆ax＋★a^2」の☆★印の、「２☆ax」と「★a^2」である！ まず、(１．)：「＊(Ka／c)α」を、(２．)：因数分解の公式内の「２☆ax」と、全く同じ形にすると考えて、分数：(２／２)を乗じると、 「(Ka／c)α×(２／２)＝２☆(Ka／２c)α」となり、「２☆(Ka／２c)α＝２☆ax」となる。 これを、更に細かく分散すると、「α^2＝x^2、係数２＝係数２、☆(Ka／２c)＝☆a 、項α＝項x 」である事が理解出来る！ 【α^2＋係数２・☆( Ka／２c )・項α】 ⇔ 【 x^2＋係数２・☆a・項x 】 同時に、「☆(Ka／２c)＝☆a ！」と言える事から、これを(２．)：因数分解の公式「x^2＋２☆ax＋★a^2」内、「★a^2に代入」すると、 (１．)：「α^2＋＊(Ka／c)α」は結局、次の(３．)式：「α^2＋２☆(Ka／２c)α＋★(Ka／２c)^2 」に、置き換えられる。 【※ (３．)式：α^2＋２☆(Ka／２c)α＋★(Ka／２c)^2 】 つまり、「α^2＋＊(Ka／c)α」は、因数分解の公式：x^2＋２ax＋a^2＝(x＋a)^2の左辺を利用し、「※一旦、α^2＋２☆(Ka／２c)α＋(Ka／２c)^2 に、置き換えられる！」 これより、「α^2＋２☆(Ka／２c)α＋★(Ka／２c)^2＝x^2＋２☆ax＋★a^2＝(x＋☆a)^2！」の関係にあると言える！ 更に、「α^2＋２☆(Ka／２c)α＋★(Ka／２c)^2＝(x＋☆a)^2 」 より、x＝α、☆a＝☆(Ka／２c) である事から、これを、因数分解の公式の右辺：(x＋☆a)^2に代入すると、 ∴「α^2＋２☆(Ka／２c)α＋★(Ka／２c)^2＝(α＋☆Ka／２c)^2＝(x＋☆a)^2 」 として、平方完成となる！ また、これを展開すると、 (α＋☆Ka／２c)^2＝(α＋☆Ka／２c)(α＋☆Ka／２c)＝(３．)式：α^2＋２☆(Ka／２c)α＋★(Ka／２c)^2 であると確認出来る！
よって、これを差し引いた式が、最初の、(１．)式：「α^2＋＊(Ka／c)α」であり、「α^2＋(Ka／c)α｛＝２(Ka／２c)α｝」より、 (α＋Ka／２c)^2－(Ka／２c)^2 ＝α^2＋(Ka／c)α＋(Ka／２c)^2－(Ka／２c)^2 ＝α^2＋(Ka／c)α＋(Ka^2／４c^2)－(Ka^2／４c^2)＝α^2＋(Ka／c)α ∴最初の形：「α^2＋＊(Ka／c)α」となる！
「 ※ α^2＋２☆(Ka／２c)α＋★(Ka／２c)^2( ＝x^2＋２☆ax＋★a^2 ) 」と表せる！
「 ※ α^2＋２☆(Ka／２c)α＋★(Ka／２c)^2＝(α＋☆Ka／２c)^2＝(x＋☆a)^2！」が完成する！ 「※ α^2＋(Ka／c)α＋(Ka^2／４c^2)－(Ka^2／４c^2) ！」となる！ 【※ ２次方程式内の、「α^2＋＊(Ka／c)α」が、因数分解の公式：x^2＋２ax＋a^2＝(x＋a)^2 を利用して、平方完成：(α＋☆Ka／２c)^2 として成立する事が証明された！】 【α^2＋係数２・☆(Ka／２c)・項α＋★(Ka／２c)^2 】 ⇔ 【 x^2＋係数２・☆a・項x＋★a^2 】 ※後は、今までやってきた事を、まとめるだけです！ ( １ )：cα^2＋Kaα－Ka＝０(c≠０かつ０＜α＜１) ( ２ )：(c／c)α^2＋(Ka／c)α－(Ka／c)＝０ ( ３ )：α^2＋(Ka／c)α－(Ka／c)＝０ ( ４ )：｛α^2＋２(Ka／２c)α＋(Ka／２c)^2｝－(Ka／２c)^2－(Ka／c) ＝０ また、「元の形：α^2＋(Ka／c)α」を保つために、「※ (Ka／２c)^2 を差し引いている！」 ( ５ )：(α＋Ka／２c)^2－(Ka／２c)^2－(Ka／c)＝０ ( ６ )：(α＋Ka／２c)^2＝(Ka／２c)^2＋(Ka／c) ( ７ )：(α＋Ka／２c)^2＝(Ka^2／４c^2)＋(４cKa／４c^2) ( ８ )：(α＋Ka／２c)^2＝(Ka^2＋４cKa)／４c^2 ( ９ )：(α＋Ka／２c)^2×^(1／2)＝｛(Ka^2＋４cKa)／４c^2 ｝^ (1／2) ( １０ )：α＋(ka／２c)＝±√(Ka^2＋４cKa)／√４c^2 ( １１ )：α＋(Ka／２c)＝±√ (Ka^2＋４cKa)／√(２^2c^2) ( １２ )：α＋(Ka／２c)＝±√(Ka^2＋４cKa)／√(２c)^2 ( １３ )：α＋(Ka／２c)＝±√(Ka^2＋４cKa)／２c ( １４ )：α＝－(Ka／２c)±√(Ka^2＋４cKa)／２c ( １５ )： ∴α＝｛－Ka±√(Ka^2＋４cKa)｝／２c 【 化学での、電離度αを求めるための解の公式 ( ０＜α＜１ ,より ) 】 ( １６ ) ∴ α＝｛－Ka＋√(Ka^2＋４cKa) ｝／２c (c≠０かつ０＜α＜１) ( １．)：ax^2＋bx＋c＝０(a≠０) ( ２．)：(a／a)x^2＋(b／a)x＋(c／a)＝０ ( ３．)：x^2＋(b／a)x＋(c／a)＝０ ( ３．)の２次方程式内の、(b／a)x を、因数分解の公式内の、２ax と全く同じ形に変形するために、(２／２)を乗じる事により、係数２が生じ、２(b／２a)xとなる。これより、a＝(b／２a)、更に、a^2＝(b／２a)^2 だと理解出来る！」つまり、 【 x^2＋係数２・a・x＋a^2 】 ⇔ 【 x^2＋係数２・(b／２a)・x＋(b／２a)^2 】 と表せる。これより、 ( ４．)：｛x^2＋２(b／２a)x＋(b／２a)^2｝－(b／２a)^2＋(c／a)＝０ 「 x^2＋(b／a)x｛＝２(b／２a)x｝」 に戻そうと、 「「Ｘ」：x^2＋２(b／２a)x＋(b／２a)^2－(b／２a)^2＋(c／a)＝０」、としてはならない！ 【※ 何故なら、最終的に、xを求めるためには、平方完成の形：因数分解の公式の右辺：(x＋a)^2 によって求めなければならないため、上記の様に、(b／２a)^2を差し引いた後の、x^2＋２(b／２a)x だけでは、平方完成の形：(x＋a)^2 へと導けないからである！】 【 ※ x^2＋２(b／２a)x＋(b／２a)^2＝(x＋b／２a)(x＋b／２a)＝(x＋b／２a)^2＝(x＋a)^2 】 が成立する。よって、この関係式を基にして、次の様に導いていく！ ( ５．)：「◯」：(x＋b／２a)^2－(b／２a)^2＋(c／a)＝０ ( ６．)：(x＋b／２a)^2＝(b／２a)^2－(c／a) ( ７．)：(x＋b／２a)^2＝(b^2／４a^2)－(c／a)×(４a／４a) ( ８．)：(x＋b／２a)^2＝(b^2／４a^2)－(４ac／４a^2) ( ９．)：(x＋b／２a)^2＝(b^2－４ac)／４a^2 ( １０．)： (x＋b／２a)^2×^(1／2)＝｛(b^2－４ac)／４a^2｝^(1／2) ( １１．)： x＋(b／２a)＝±√(b^2－４ac)／√４a^2 ( １２．)：x＋(b／２a)＝±√(b^2－４ac)／２a ( １３．)：x＝－(b／２a)±√(b^2－４ac)／２a ( １４．) ∴ x＝｛－b±√(b^2－４ac)｝／２a 皆さん、いかがでしょうか？最初で、左辺と右辺に(１／a)を乗じただけで、スッキリした導き方となり、更に理解度が増したのではないでしょうか？ この様に、ポイントさえ押さえておけば、すんなりと理解出来ると思いますので、これからも簡単を見過ごさず、１つ１つを丁寧にクリアなさって下さい。 See you ! ２．別解の、 ( ３．)式：x^2＋(b／a)x＋(c／a)＝０ の次式に、左辺の定数項：(c／a)を右辺に移項し、 x^2＋(b／a)x＝－(c／a)、とした後、両辺に、(b／２a)^2 を足して、 「 x^2＋２(b／２a)x＋(b／２a)^2＝－(c／a)＋(b／２a)^2 」 から求めていく解法です！ 宜しかったら、すぐ解けますので、計算して試て下さいね！２回目の、 See you !
２．別解：一般的な２次方程式からの、解の公式への導き方！
