一目瞭然!2次方程式から、解の公式を導く方法!

こちらでは、2次方程式から、解の公式へと導く方法を、「別解」として紹介していきます。

前記事では、弱酸の電離度αを、2次方程式から解の公式へと導く事によって求められました。出来ましたら、前記事の、「化学&数学の共通公式を1発で解決×凌駕する秘訣」で御理解された後、こちらを御覧頂きますと、更に理解度が増すと思われます。

また、「別解」と称していますが、解法と致しましては、因数分解の公式を用いた、全く同じ様な解法となっていますので、ゆっくり時間を掛けて頂き御理解下さい。それでは、スタートです!

1.別解:解の公式への導き方!

【※ 解の公式を完成させる極意 ※】
【※ 2次方程式から解の公式へと導くために欠かせない公式が存在する!】

(1.)「 2次方程式:cα^2+Kaα-Ka=0(c≠0かつ0<α<1)より、まず、計算を簡略化するため、左辺の頭:cα^2の係数cを消去する。手段として、両辺に、(1/c)を乗じると消去される!」

「 cα^2+Kaα-Ka=0 」

→「(c/c)α^2+(Ka/c)α-(Ka/c)=0 」

→「α^2+(Ka/c)α-(Ka/c)=0 」(※ ここで、左辺:α^2+*(Ka/c)α に注目する!)

(2.)

【※ 極意!、因数分解の公式:x^2+2ax+a^2=(x+a)^2 登場!】
(1.):「α^2+*(Ka/c)α」を、因数分解の公式、「x^2+2ax+a^2=(x+a)^2 に、無理矢理変形させる!」

※ 何故なら、解であるαを求めるためには、どうしても最終的な形として、因数分解の公式の右辺の、平方完成の形:「(x+a)^2 !」を、2次方程式の左辺に取り入れて、

「(α+Ka/2c)^2=(Ka^2+4cKa)/4c^2 」

とし、解を求めていく必要があるからだ!

(Ⅰ)手順としては、(1.):「α^2+*(Ka/c)α」を無理矢理、

(2.):因数分解の公式の左辺「x^2+2ax+a^2」 の形に変形する。ここで注目するのが、公式内の「x^2+2☆ax+★a^2」の☆★印の、「2☆ax」と「★a^2」である!

まず、(1.):「*(Ka/c)α」を、(2.):因数分解の公式内の「2☆ax」と、全く同じ形にすると考えて、分数:(2/2)を乗じると、

「(Ka/c)α×(2/2)=2☆(Ka/2c)α」となり、「2☆(Ka/2c)α=2☆ax」となる。

これを、更に細かく分散すると、「α^2=x^2、係数2=係数2、☆(Ka/2c)=☆a 、項α=項x 」である事が理解出来る!

【α^2+係数2・☆( Ka/2c )・項α】 ⇔ 【 x^2+係数2・☆a・項x 】

同時に、「☆(Ka/2c)=☆a !」と言える事から、これを(2.):因数分解の公式「x^2+2☆ax+★a^2」内、「★a^2に代入」すると、

(1.):「α^2+*(Ka/c)α」は結局、次の(3.)式:「α^2+2☆(Ka/2c)α+★(Ka/2c)^2 」に、置き換えられる。

【※ (3.)式:α^2+2☆(Ka/2c)α+★(Ka/2c)^2 】

つまり、「α^2+*(Ka/c)α」は、因数分解の公式:x^2+2ax+a^2=(x+a)^2の左辺を利用し、「※一旦、α^2+2☆(Ka/2c)α+(Ka/2c)^2 に、置き換えられる!」

これより、「α^2+2☆(Ka/2c)α+★(Ka/2c)^2=x^2+2☆ax+★a^2=(x+☆a)^2!」の関係にあると言える!

更に、「α^2+2☆(Ka/2c)α+★(Ka/2c)^2=(x+☆a)^2 」 より、x=α、☆a=☆(Ka/2c) である事から、これを、因数分解の公式の右辺:(x+☆a)^2に代入すると、

∴「α^2+2☆(Ka/2c)α+★(Ka/2c)^2=(α+☆Ka/2c)^2=(x+☆a)^2 」 として、平方完成となる!

また、これを展開すると、

(α+☆Ka/2c)^2=(α+☆Ka/2c)(α+☆Ka/2c)=(3.)式:α^2+2☆(Ka/2c)α+★(Ka/2c)^2

であると確認出来る!

【※ ここに着目!】
しかし、ここで最初の形が、 (1.):「α^2+(Ka/c)α{=2☆(Ka/2c)α}」であったため、これを(3.)式と見比べると、(3.)式に「★(Ka/2c)^2」が余計に加算されているのが解る!

よって、これを差し引いた式が、最初の、(1.)式:「α^2+*(Ka/c)α」であり、「α^2+(Ka/c)α{=2(Ka/2c)α}」より、

(α+Ka/2c)^2-(Ka/2c)^2

=α^2+(Ka/c)α+(Ka/2c)^2-(Ka/2c)^2

=α^2+(Ka/c)α+(Ka^2/4c^2)-(Ka^2/4c^2)=α^2+(Ka/c)α

∴最初の形:「α^2+*(Ka/c)α」となる!

1.]以上より、前半をまとめると、最も重要な部分式である、「α^2+*(Ka/c)α」を、因数分解の公式:「x^2+2ax+a^2=(x+a)^2」の左辺「x^2+2ax+a^2」の形に、無理矢理変形した式、

「 ※ α^2+2☆(Ka/2c)α+★(Ka/2c)^2( =x^2+2☆ax+★a^2 ) 」と表せる!

[2.]次に、無理矢理変形した、「α^2+2☆(Ka/2c)α+★(Ka/2c)^2 」は、「α^2+2(Ka/2c)α+(Ka/2c)^2= x^2+2ax+a^2=(x+a)^2 」と、因数分解の公式の右辺:(x+a)^2とも同じであるため、この、(x+a)^2の「平方完成の式!」に変形した式、

「 ※ α^2+2☆(Ka/2c)α+★(Ka/2c)^2=(α+☆Ka/2c)^2=(x+☆a)^2!」が完成する!

[3.]最後に、平方完成の形、(α+☆Ka/2c)^2 を展開すると、「(α+☆Ka/2c)^2=α^2+(Ka/c)α+(Ka^2/4c^2)」であるため、(Ka^2/4c^2)が余分のため、これを差し引いて、

「※ α^2+(Ka/c)α+(Ka^2/4c^2)-(Ka^2/4c^2) !」となる!

※ これより結局、一番最初の(1.)式:「α^2+*(Ka/c)α」に戻り、

【※ 2次方程式内の、「α^2+*(Ka/c)α」が、因数分解の公式:x^2+2ax+a^2=(x+a)^2 を利用して、平方完成:(α+☆Ka/2c)^2 として成立する事が証明された!】

【α^2+係数2・☆(Ka/2c)・項α+★(Ka/2c)^2 】 ⇔ 【 x^2+係数2・☆a・項x+★a^2 】

※後は、今までやってきた事を、まとめるだけです!

(Ⅱ)【 総まとめ ( 1 )~( 16 ) 】
弱酸の電離度α:α<0.05を満たさない場合、解の公式によって電離度α(α≧0.05)を求め直します。また弱塩基の電離度αの場合も同様とし、2次方程式から解の公式を求める手順も全く同じであると解釈されて構いません!

( 1 ):cα^2+Kaα-Ka=0(c≠0かつ0<α<1)

( 2 ):(c/c)α^2+(Ka/c)α-(Ka/c)=0

( 3 ):α^2+(Ka/c)α-(Ka/c)=0  

※ ( 3 )の左辺の「α^2+(Ka/c)α!」に注目し、「α^2+(Ka/c)α と、全く同じ式を成立させていく!」

( 4 ):{α^2+2(Ka/2c)α+(Ka/2c)^2}-(Ka/2c)^2-(Ka/c) =0  

「※ここで因数分解の公式:x^2+2ax+a^2=(x+a)^2 の左辺:x^2+2ax+a^2 の形に変形する!」

また、「元の形:α^2+(Ka/c)α」を保つために、「※ (Ka/2c)^2 を差し引いている!」

( 5 ):(α+Ka/2c)^2-(Ka/2c)^2-(Ka/c)=0

※ 更に、ここで、「x^2+2ax+a^2=(x+a)^2の右辺:(x+a)^2の、平方完成となる!」

( 6 ):(α+Ka/2c)^2=(Ka/2c)^2+(Ka/c)

( 7 ):(α+Ka/2c)^2=(Ka^2/4c^2)+(4cKa/4c^2)

( 8 ):(α+Ka/2c)^2=(Ka^2+4cKa)/4c^2  

「※ 左辺:-(Ka/2c)^2-(Ka/c)を、右辺に移項し、右辺の分母を揃えるために、(Ka/c)に、(4c /4c)を乗じると、( 7 )の右辺が成立する!」

( 9 ):(α+Ka/2c)^2×^(1/2)={(Ka^2+4cKa)/4c^2 }^ (1/2)

「※ αを求めるために必要な作業である、左辺の指数2を消去するため、指数として(1/2)乗を両辺に乗じる!」

( 10 ):α+(ka/2c)=±√(Ka^2+4cKa)/√4c^2

※ 右辺で、「 aの2乗根=a^(1/2)=±√a 」が成立する!

( 11 ):α+(Ka/2c)=±√ (Ka^2+4cKa)/√(2^2c^2)  

( 12 ):α+(Ka/2c)=±√(Ka^2+4cKa)/√(2c)^2  

「※右辺の分母:√4c^2を、更に分け、√(2^2c^2)とし、更に√(2c)^2となる!」

( 13 ):α+(Ka/2c)=±√(Ka^2+4cKa)/2c

「※ 右辺の分母:√(2c)^2のみが、2乗根の√が外れ、2cとなる!」

( 14 ):α=-(Ka/2c)±√(Ka^2+4cKa)/2c

「※ 左辺:(Ka/2c)を、右辺に移項する!」

( 15 ): ∴α={-Ka±√(Ka^2+4cKa)}/2c

「※ 右辺の分母:2cを、まとめると完成する!」

【※ 化学における電離度αの扱い方!】
解の公式としては、( 15 )で成立するが、「 化学での電離度αは、通常、0<α<1 を満たす 。」事から、cα〔mol/L〕(=モル濃度mol/Lと呼ばれる)は、正(+)を表し、負(-)ではないため、符号:マイナス(-)は取り外し、符号:プラス(+)のみが公式内に残り、次の( 16 )の公式として成立する!

【 化学での、電離度αを求めるための解の公式 ( 0<α<1 ,より ) 】

( 16 ) ∴ α={-Ka+√(Ka^2+4cKa) }/2c (c≠0かつ0<α<1)

2.別解:一般的な2次方程式からの、解の公式への導き方!

2次方程式から解の公式を導く!
ここでの2次方程式:ax^2+bx+c=0(a≠0)は、因数分解、累乗根(2乗根√)、指数等を理解出来る最適な基本的存在として扱われています!

( 1.):ax^2+bx+c=0(a≠0)

( 2.):(a/a)x^2+(b/a)x+(c/a)=0

「※ (1.)の左辺のax^2の係数aを消去するため、両辺に(1/a)を乗じる!」

( 3.):x^2+(b/a)x+(c/a)=0

「※ ここから、左辺の、x^2+(b/a)x のみを平方完成させる(cα^2+Kaα-Ka=0 の場合と全く同じ考え方)ために、まず、因数分解の公式:x^2+2ax+a^2=(x+a)^2の左辺:x^2+2ax+a^2 の形に変形する!

( 3.)の2次方程式内の、(b/a)x を、因数分解の公式内の、2ax と全く同じ形に変形するために、(2/2)を乗じる事により、係数2が生じ、2(b/2a)xとなる。これより、a=(b/2a)、更に、a^2=(b/2a)^2 だと理解出来る!」つまり、

【 x^2+係数2・a・x+a^2 】 ⇔ 【 x^2+係数2・(b/2a)・x+(b/2a)^2 】

と表せる。これより、

( 4.):{x^2+2(b/2a)x+(b/2a)^2}-(b/2a)^2+(c/a)=0

〔※ 注目!〕ここで元の形である、

「 x^2+(b/a)x{=2(b/2a)x}」 に戻そうと、

「「X」:x^2+2(b/2a)x+(b/2a)^2-(b/2a)^2+(c/a)=0」、としてはならない!

【※ 何故なら、最終的に、xを求めるためには、平方完成の形:因数分解の公式の右辺:(x+a)^2 によって求めなければならないため、上記の様に、(b/2a)^2を差し引いた後の、x^2+2(b/2a)x だけでは、平方完成の形:(x+a)^2 へと導けないからである!】

※ つまり、最重要な関係式、かつ代入式である、

【 ※ x^2+2(b/2a)x+(b/2a)^2=(x+b/2a)(x+b/2a)=(x+b/2a)^2=(x+a)^2 】

が成立する。よって、この関係式を基にして、次の様に導いていく!

( 5.):「◯」:(x+b/2a)^2-(b/2a)^2+(c/a)=0

※ これにより、元の形:x^2+(b/a)x{=2(b/2a)x}となる!

( 6.):(x+b/2a)^2=(b/2a)^2-(c/a)

( 7.):(x+b/2a)^2=(b^2/4a^2)-(c/a)×(4a/4a)

( 8.):(x+b/2a)^2=(b^2/4a^2)-(4ac/4a^2)

( 9.):(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2

※ ( 5.)の左辺:-(b/2a)^2+(c/a) を、右辺に移項し、右辺の分母を、(b^2/4a^2)の分母4a^2に合わすため、(c/a)に(4a/4a)を乗じ、まとめる!

( 10.): (x+b/2a)^2×^(1/2)={(b^2-4ac)/4a^2}^(1/2)

( 11.): x+(b/2a)=±√(b^2-4ac)/√4a^2

( 12.):x+(b/2a)=±√(b^2-4ac)/2a

※ 左辺と右辺を(1/2)乗すると、右辺に2乗根と、符号:±が生じる。右辺の分母である2乗根:√4a^2 のみ、√を外すと、「√4a^2=√(2^2a^2)=√(2a)^2=(2a)^(2/2)=2a となる!」

( 13.):x=-(b/2a)±√(b^2-4ac)/2a

( 14.) ∴ x={-b±√(b^2-4ac)}/2a

「※ 左辺のxを求めるため、左辺の(b/2a)を右辺に移項し、分母をまとめると完成する!」

皆さん、いかがでしょうか?最初で、左辺と右辺に(1/a)を乗じただけで、スッキリした導き方となり、更に理解度が増したのではないでしょうか?

この様に、ポイントさえ押さえておけば、すんなりと理解出来ると思いますので、これからも簡単を見過ごさず、1つ1つを丁寧にクリアなさって下さい。  See you !

別解法!
※ おっと、さほど変わりませんが、もう1個解法があります!

2.別解の、

( 3.)式:x^2+(b/a)x+(c/a)=0

の次式に、左辺の定数項:(c/a)を右辺に移項し、

x^2+(b/a)x=-(c/a)、とした後、両辺に、(b/2a)^2 を足して、

「 x^2+2(b/2a)x+(b/2a)^2=-(c/a)+(b/2a)^2 」

から求めていく解法です!

宜しかったら、すぐ解けますので、計算して試て下さいね!2回目の、 See you !