何ぜよ?初耳ぜよ!強塩基の希釈pHは、2つの解の公式で求めるぜよ!

「太陽が眩しいぜよ!今年ん夏は暑うなるぜよ!」

タイトルを意識して、こんなん言うか分かりませんが、坂本龍馬風に「ぜよぜよ!」言ってみました!なお、タイトルの中身とは何の関係もないボヤキでした!

さて今回の本題は、

「強塩基を薄〜くするとpHはどうなる?」

についてです。

考え方と致しましては、

「強酸を薄〜くするとpHはどうなる?」

と、何ら変わらず同様に考えて頂けたらと思います。

それでは順番に進めていきましょう!

1.強塩基・強酸を薄〜くするとpHはどう変化する?

強塩基には水酸化ナトリウムNaOH、水酸化カリウムKOH、水酸化バリウムBa(OH)2、水酸化カルシウムca(OH)2等があり、これを希釈していくとpHは「2通りの状態!」を表します。

「❋ 1つ目は、希釈した倍数をモル濃度に乗じるだけでpHが求められる!」

「❋ 2つ目は、希釈した倍数をモル濃度に乗じるだけではpHを求める事が出来ない!」

の大きく2通りの状態に分けられます。

これは強酸である硝酸HNO3、塩酸HCl、硫酸H2SO4等も同様の考え方となります。

具体的例で、pHまたはpOHを求める問題文対策として文章化しますと、次の様にまとめられます。

【❋ 水H2Oの電離を考慮しない場合!】
[1]︰強塩基・強酸を希釈倍数するが、それぞれが水H2Oの電離を考慮しない(1)、(2)によってpHが求められる!

(1)強塩基を希釈する場合において、水H2Oの電離を考慮しないpHの求め方。

「※ 希釈倍数した後の水酸化物イオンOH^-のモル濃度︰c〔mol/L〕」>「※ 希釈倍数して水溶液中に存在している、水酸化物イオンOH^-のモル濃度のおおよその基準︰10^-6〔mol/L〕」に基いて、希釈倍数し求めた水素イオン濃度H^+〔mol/L〕、あるいは水酸化物イオン濃度OH^-〔mol/L〕によって、pHまたはpOHを求める!

(2)強酸を希釈する場合において、水H2Oの電離を考慮しないpHの求め方。

「※ 希釈倍数した後の水素イオンH^+のモル濃度︰c〔mol/L〕」>「※ 希釈倍数して水溶液中に存在している、水素イオンH^+のモル濃度のおおよその基準︰10^-6〔mol/L〕」に基いて、希釈倍数し求めた水素イオン濃度H^+〔mol/L〕、あるいは水酸化物イオン濃度OH^-〔mol/L〕によって、pHまたはpOHを求める!

【❋ 水H2Oの電離を考慮する場合!】
[2]︰強塩基・強酸を希釈倍数すると同時に、それぞれが水H2Oの電離を考慮した(1’)、(2’)によってpHが求められる!

(1’)強塩基を希釈する場合において、水H2Oの電離を考慮したpHの求め方。

「※ 希釈倍数した後の水酸化物イオンOH^-のモル濃度︰c〔mol/L〕」≦「※ 水H2Oの電離が、pHに影響を与える希釈倍数した水酸化物イオンOH^-のモル濃度のおおよその基準︰10^-6〔mol/L〕」に基いた、2通りの解の公式により求めた水酸化物イオン濃度OH^-〔mol/L〕によって、pHまたはpOHを求める!

(2’)強酸を希釈する場合において、水H2Oの電離を考慮したpHの求め方。

「※ 希釈倍数した後の水素イオンH^+のモル濃度︰c〔mol/L〕」≦「※ 水H2Oの電離が、pHに影響を与える希釈倍数した水素イオンH^+のモル濃度のおおよその基準︰10^-6〔mol/L〕」に基いた、2通りの解の公式により求めた水素イオン濃度H^+〔mol/L〕によってpHまたはpOHを求める!

この様に、水H2Oの電離を考慮しない場合と、水H2Oの電離を考慮した場合による計算の判断基準は、水素イオン濃度H^+〔mol/L〕と水酸化物イオン濃度OH^-〔mol/L〕共に、

「✼ ≒(おおよそ)10^-6〔mol/L〕」

の基準となります!

2.強塩基を希釈した場合のpHを解の公式で求めてみよう︰(その1)

【❂ NaOHとH2Oの電離!】

【問題】
pH8の水酸化ナトリウムNaOH水溶液を100倍に希釈した場合の、水酸化物イオン濃度︰OH^-〔mol/L〕とpOHを求めよ。ただし、水のイオン積︰Kw=1.0✕10^-14〔mol/L〕^2、√4.01=2.0、log(10)[10.5]=1.02とする。
【✻ NaOHをH2Oで希釈した場合の計算[1]!】pH8のNaOH水溶液を単純に水H2Oで希釈すると、pH8=1.0✕10^-8〔mol/L〕を希釈するという事から、次の様にも考えがちです。

[✕]︰1.0✕10^-8〔mol/L〕✕10^-2(倍)=1.0✕10^-10〔mol/L〕

この様に計算してしまうと、pH10になってしまい、結局は弱塩基性を示すpOH4となります。

よって、強酸の様にpHを基準とするpH8を基準にして考えてしまいますと、pH10つまりpOH4になり強塩基を希釈した事にはならない結果となります。

そこで強塩基を希釈したpHを求める為には、水酸化ナトリウムNaOHが水溶液中で電離して塩基性を示している事から、まずは水酸化物イオン濃度︰OH^-〔mol/L〕を表している「pOH6︰1.0✕10^-6〔mol/L〕=✰c〔mol/L〕」の方を希釈倍数してみます!すると…

[✕]︰10^-6〔mol/L〕✕10^-2(倍)=10^-8〔mol/L〕=✰c〔mol/L〕

この様に水酸化物イオンOH^-のモル濃度が10^-8〔mol/L〕になり、pH7を超えてしまい酸性を表す事になってしまいます。結局、この計算方法でも希釈した場合のpHを求める事は出来ません!この事から次の様な事が言えます。

【❁ 強酸をいくら希釈してもpH7を超え塩基性になる事は決してない様に、強塩基をいくら希釈してもpH7を超えて酸性になる事は決してありません!】

『※ ただし、10^-8〔mol/L〕=✰c〔mol/L〕は、後記述の解の公式に代入する重要な値となります!』

この様にpH7を超えて酸性になるという事は、通常の計算ではpHを求められないという事になります。ここで考えられるのが、強酸を希釈した場合に必要とされる水H2Oの電離を、同じく強塩基にも利用するという考え方です。

H2O ⇄ H^+ + OH^-

このH2Oの電離が生じる基準は上記[2]の(1’)にある様に、水溶液中に存在する総水酸化物イオンOH^-のモル濃度が、おおよその基準︰≒10^-6〔mol/L〕として考えて頂けたらと思います。

この問題を解くには、H2Oが電離して生じるOH^-を、未知のモル濃度︰x〔mol/L〕として考え解いていく事が最重要となります。

H2O ⇄ H^+(=H2Oが電離したOH^-のモル濃度︰x〔mol/L〕と同じモル濃度である事から、計算式内では同じx〔mol/L〕として表す!) + OH^-(=x〔mol/L〕)

∴ 「❂ H2Oが電離したH^+とOH^-のモル濃度︰H^+〔mol/L〕=OH^-〔mol/L〕=x〔mol/L〕」

上記の様にH2Oが電離すると、H^+とOH^-のモル濃度は全く同じになります。よって、H^+もOH^-も「x」として計算式で使用されます。

「❋ これ等を基にして、以下の手順で水酸化物イオン濃度︰OH^-〔mol/L〕とpOHを求めていきます!」

(1)︰H2Oの電離を考慮し、電離した水酸化物イオンOH^-と、電離したH^+のモル濃度をx〔mol/L〕とする!

「OH^-〔mol/L〕=H^+〔mol/L〕=x〔mol/L〕」

(2)︰水酸化ナトリウムNaOHが完全電離して、これを希釈倍数し生成した水酸化物イオンOH^-のモル濃度をc〔mol/L〕とし、水のイオン積Kwを求める式に代入する!

OH^-〔mol/L〕=c〔mol/L〕 とし、

水のイオン積︰H^+〔mol/L〕✕OH^-〔mol/L〕=Kw〔mol/L〕^2  より、

x〔mol/L〕(x〔mol/L〕+c〔mol/L〕)=Kw〔mol/L〕^2

(3)︰(2)を2次方程式とする!

x(x+c)=Kw

x^2+cx=Kw

x^2+cx−Kw=0

【❋ 補足説明】
2次方程式︰x(x+c)=Kwについては、実際には水酸化ナトリウムNaOHの電離度αが1ではない為に、次の様に表せます!

「x(x+✰cα)=Kw」

(4)︰(3)より、解の公式を導く!

x^2+cx−Kw=0

2次方程式より解の公式を導くと、

x={−c±√(c^2+4Kw)}/2

【✼ 2次方程式から解の公式を導くやり方は、こちらを是非御覧下さいね!】

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(5)︰H2Oが電離した[OH^-]=x={−c✰±√(c^2+4Kw)}/2 より、

[OH^-]=x>0(❁ [OH^-]の値は、必ず0より大きい!)より、分子の✰±の−(マイナス)は除外され次の解の公式となる!

【✺ H2Oが電離した[OH^-]=x={−c✰+√(c^2+4Kw)}/2】

(6)︰ここで、pOHに必要な総水酸化物イオン濃度︰OH^-〔mol/L〕を求める計算式を作成する!

「x〔mol/L〕(H2Oが電離した[OH^-])+c〔mol/L〕(NaOHを希釈倍数した[OH^-])=総水酸化物イオン濃度︰[OH^-]」

x={−c✰+√(c^2+4Kw)}/2  より、

c+x=c+{−c✰+√(c^2+4Kw)}/2

=(2c/2)+{−c✰+√(c^2+4Kw)}/2

={c✰+√(c^2+4Kw)}/2

よって、

【✪ 総水酸化物イオン濃度︰[OH^-]={c✰+√(c^2+4Kw)}/2】

となり、この解の公式にそれぞれの値を代入し、総水酸化物イオン濃度︰[OH^-]を求める!

総水酸化物イオン濃度︰[OH^-]={10^-8+√{(10^-8)^2+4✕10^-14}}/2

={10^-8+√(10^-16+4✕10^-14)}/2

={10^-8+√(10^-2+4)✕10^-14}/2

={10^-8+√(0.01+4)✕10^-14}/2

={10^-8+√(4.01✕10^-14)}/2

={10^-8+√(4.01)✕10^-7}/2

ここで、「10^-8」を「1.0✕10^-8」とし、「√4.01≒2.0」とすると、

=(1.0✕10^-8)/2+(2✕10^-7)/2

=(0.5✕10^-8)+10^-7

ここで、「10^-8」に合わせると、

=(0.5✕10^-8)+(10✕10^-8)

これをまとめると、

=(0.5+10)✕10^-8

=10.5✕10^-8

答.[OH^-]=10.5✕10^-8〔mol/L〕

水酸化ナトリウムNaOHを希釈したpOHは、

pOH=−log(10)[OH^-]

=−log(10)[10.5✕10^-8]

log(10)[10.5]≒1.02 より、

=−(1.02−8)=6.98

答.pOH=6.98

因みにpHは、

pH+pOH=14より、

pH=14−6.98=7.02

∴ pH=7.02

となります!

【✼ pHと、pOHにも関係している累乗根、常用対数の記事も是非御覧下さいね!】

「一刀両断!logが、pHへと導かれる仕組み!?」

「たった1回読めば解る!累乗根とは何ぞや!?」

3.強塩基を希釈した場合のpHを解の公式で求めてみよう!︰(その2)

【問題】
1.0✕10^-6〔mol/L〕の水酸化ナトリウムNaOHを100倍に希釈した場合の、水酸化物イオン濃度︰OH^-〔mol/L〕とpHを求めよ。ただし、Kw=1.0✕10^-14〔mol/L〕^2、√4.01=2.0、log(10)[10.5]=1.02、log(10)[1.05]=0.02とする。
【✻ NaOHをH2Oで希釈した場合の計算[2]!】

ここでの考え方としましては、「2.」の問題と同様となります。

1.0✕10^-6〔mol/L〕の水酸化ナトリウムNaOHは、水酸化物イオン濃度︰OH^-〔mol/L〕を表している「pOH6=1.0✕10^-6〔mol/L〕」ですから、これを希釈倍数してみます!すると…

[✕]︰10^-6〔mol/L〕✕10^-2(倍)=10^-8〔mol/L〕

単純に希釈倍数してしまうと、モル濃度が10^-8〔mol/L〕になってしまい、pOH8となり酸性を示す事になり矛盾が生じてしまいます。

【❁ 強酸をいくら希釈してもpH7を超え塩基性になる事は決してない様に、強塩基をいくら希釈してもpH7を超えて酸性になる事は決してありません!

この考え方は、NaOHが存在している水酸化物イオンOH^-をいくら薄めても、水素イオンH^+に変化する事にはならないと言う単純なものです!】

よって、ここでも水酸化物イオンOH^-のモル濃度〔mol/L〕のおおよその基準が、

「10^-6〔mol/L〕>水酸化物イオン濃度︰OH^-〔mol/L〕」

の範囲にあれば、H2Oによる電離を考慮する必要があります。

さてpHの求め方ですが、「2.」と同様の2次方程式による解き方でも良いのですが、ここでは少々違う解き方で求めてみましょう。

「2.」と異なるのが、「x」の持つ意味です。「2.」では「x」を、H2Oが電離して生成するH^+とOH^-として考えましたが、ここでは「x」を、H2Oが電離して生成するOH^-と、水酸化ナトリウムNaOHが水溶液中で電離して生成したOH^-のモル濃度︰c〔mol/L〕とを、足した量として考えます。

【✺ x=H2Oが電離して生成するOH^-のモル濃度〔mol/L〕+水酸化ナトリウムNaOHが水溶液中で電離して生成するOH^-のモル濃度︰c〔mol/L〕】

つまり、

「x=[OH^-](H2Oの電離)+[OH^-](NaOH電離)=総OH^-〔mol/L〕」

という事になります。

「❋ そして、これ等を基にして以下の手順で「2.」と同様に、水のイオン積Kwを利用して総水酸化物イオン濃度︰OH^-〔mol/L〕を求めていきます!」

(1)︰H2Oの電離を考慮し、電離した水酸化物イオンOH^-と、電離したH^+のモル濃度をx〔mol/L〕とする!

「OH^-〔mol/L〕=H^+〔mol/L〕=x〔mol/L〕」

(2)︰水酸化ナトリウムNaOHが完全電離して、生成した水酸化物イオンOH^-のモル濃度をc〔mol/L〕とする!

OH^-〔mol/L〕=c〔mol/L〕

(3)︰「x」の表し方は「2.」と異なり、

【x=H2Oが電離して生成したOH^-〔mol/L〕+NaOHが完全電離して生成したOH^-のモル濃度︰c〔mol/L〕

の様に、「x」が「❋ 全ての水酸化物イオンOH^-濃度!」としての意味を持ちます!この「x」を水のイオン積Kwを求める式に代入します!

H^+〔mol/L〕✕OH^-〔mol/L〕=Kw〔mol/L〕^2  より、

(✰x〔mol/L〕−c〔mol/L〕)✯x〔mol/L〕=Kw〔mol/L〕^2

ここで理解しづらいのが、

(✰x〔mol/L〕−c〔mol/L〕)=水H2Oが電離し生成したOH^-〔mol/L〕

✯x〔mol/L〕=(H2Oが電離し生成したOH^-〔mol/L〕+水酸化ナトリウムNaOHが完全電離して生成したOH^-のモル濃度︰c〔mol/L〕)=総水酸化物イオン濃度OH^-〔mol/L〕

この様に考えますと通常、

[✕]︰OH^-〔mol/L〕✕OH^-〔mol/L〕=Kw

の様になってしまい、水のイオン積Kwが成立しません。

そこで、水のイオン積Kwを成立させるには、どうしても、いずれかのOH^-〔mol/L〕をH^+〔mol/L〕に置き換える必要があります。ここでは、()をH^+〔mol/L〕として置き換えられます。

(✰x〔mol/L〕−c〔mol/L〕)=H^+〔mol/L〕

何故置き換えられるのかと言いますと、

【(✰x〔mol/L〕−c〔mol/L〕)=H2Oが電離し生成したOH^-〔mol/L〕=H^+〔mol/L〕】 

の様に、

(✰x〔mol/L〕−c〔mol/L〕)

の式から求められる値は、H2Oが電離して生成したOH^-とH^+の、どちらも同じモル濃度〔mol/L〕として求められますので置き換える事が可能なのです!これで、

(✰x〔mol/L〕−c〔mol/L〕)✯x〔mol/L〕=Kw〔mol/L〕^2

のイオン積Kwの式を、

(H2Oが電離して生成したH^+〔mol/L〕)✕{H2Oが電離して生成したOH^-〔mol/L〕+水酸化ナトリウムNaOHが完全電離して生成したOH^-のモル濃度︰c〔mol/L〕(=総水酸化物イオン濃度︰OH^-〔mol/L〕)}=Kw〔mol/L〕^2

として置き換える事が可能なのです。これより、

(x−c)x=Kw

の式が成立する訳です!

(4)︰(3)を2次方程式とする!

(x−c)x=Kw

x^2−cx=Kw

x^2−cx−Kw=0

(5)︰(4)の2次方程式を解の公式へと導く!

x^2−cx−Kw=0  より、xについて解くと、

x={c±√(c^2+4Kw)}/2

(5)︰「✪ 総水酸化物イオン濃度︰OH^-〔mol/L〕」=x={c✰±√(c^2+4Kw)}/2 より、

総OH^-〔mol/L〕=x>0(❁ 総OH^-の値は、必ず0より大きい!)より、解の公式の分子の✰±の−(マイナス)は除外され次の解の公式となる!

【✺ 総OH^-〔mol/L〕=x={c✰+√(c^2+4Kw)}/2】

【❆ 2次方程式より解の公式を導いて解く!】

この解の公式に、それぞれの値を代入すると総OH^-〔mol/L〕が求められる!

総OH^-〔mol/L〕=x={c+√(c^2+4Kw)}/2

総OH^-〔mol/L〕=x={10^-8√{(10^-8)^2+4✕10^-14}}/2

={10^-8√(10^-16+4✕10^-14)}/2

={10^-8√{(10^-2+4)✕10^-14}}/2

={10^-8√{(0.01+4)✕10^-14}}/2

={10^-8√(4.01✕10^-14)}/2

={10^-8√(4.01)✕10^-7}/2

ここで「10^-8」を「1.0✕10^-8」にして計算し「√4.01≒2.0」とする!

=(1.0✕10^-8)/2+(2✕10^-7)/2

=✰(0.5✕10^-8)+10^-7

ここで「10^-8」に合わせると、

=(0.5✕10^-8)+(10✕10^-8)

=(0.5+10)10^-8

=10.5✕10^-8

答.[OH^-]=10.5✕10^-8〔mol/L〕

pHは直接求められないので、pOHをまず求めます!

pOH=−log(10)[OH^-]

=−log(10)[10.5✕10^-8]

log(10)[10.5]=1.02より、

=−(1.02−8)

=6.98

pHは、「pH+pOH=14」より、

14−6.98(=pOH)=7.02

答.pH=7.02

因みに、上記計算式「✰(0.5✕10^-8)+10^-7」を「10^-7」に合わせると、

総OH^-〔mol/L〕=x=(0.05✕10^-7)+(1.0✕10^-7)

=(0.05+1.0)10^-7

=1.05✕10^-7

ここでもpHは直接求められないので、pOHをまず求めます!

pOH=−log(10)[OH^-]

=−log(10)[1.05✕10^-7]

log(10)[1.05]=0.02より、

=−(0.02−7)

=6.98

pHは、「pH+pOH=14」より、

14−6.98(=pOH)=7.02

答.pH=7.02

結局、2問題共に最終的に扱う解の公式は、

{c+√(c^2+4Kw)}/2

という事になりますね!

今回は、強塩基を希釈した場合のpHとpOHを解の公式によって求めてみましたが、皆さんお気付きでしょうか?

上記の問題は、2問共全く同じ問題なのです。問題文の表現方法を少々変えただけなのですが、違った問題の様に感じます。

ここでは皆さんが応用化出来る様にと、2つの解の公式を使った問題を記述してみました。

重要な事として、強酸と強塩基を希釈した場合に解の公式を扱う関係性は、全く真逆の関係を表しているという事です!

つまり、総H^+〔mol/L〕と総OH^-〔mol/L〕の表し方が真逆の関係にあるのです!これについては、強酸を希釈した場合におけるpHの求め方についても御覧頂けたらと思います。

改めてpHって奥が深いですよね。だからこそ面白いんですよね!

それでは、この辺でまた、 See you!